CUADRADO DE UN BINOMIO

Cuadrado de binomio

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, 

más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cuadrado como (a + b) ². Si desarrollamos la multiplicación se tiene:

(a + b)² = (a + b)(a + b)
(a + b)² = aa + ab + ba + bb
(a + b)² = a² + 2ab + b²

   ^EJEMPLO:
a la expresión  es un binomio. Al elevarlo al cuadrado resulta:

sustituimos el valor de "a"

donde: a=3 

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² 

= x ² + 6 x + 9

Ejemplo : Obtener el cuadrado de x + 2y y de 3xy + 5.
Usando la identidad se tiene que: (x + 2y)² = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)
(x + 2y)² = x² + 4xy + 4y²
(3xy + 5)² = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)
(3xy + 5)² = 9x²y² + 30xy + 25
a continuación un profesor le explicara como tenemos que desarrollar el binomio, y los errores muy frecuentes que tenemos al resolver el binomio de la forma(a + b)² = a² + 2ab + b² 

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término,

menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²       

^{Lo anterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado el término del doble producto del primero por el segundo tiene signo negativo.}
La identidad (a + b)² = a² + 2ab + b² es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cuadrado y desarrollar la multiplicación tenemos:
(a - b)² = (a - b)(a - b)
(a - b)² = aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)
(a - b)² = aa - ab - ab + bb
(a - b)² = a² - 2ab + b²

EJEMPLO:

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9
Ejemplo. Elevar al cuadrado 3x² - z.
Usando la identidad: (3x² - z)² = (3x²)(3x²) - 2(3x²)(z) + (z)(z)
(3x² - z)² = 9x⁴ - 6x²z + z²
a continuación un profesor le explicara como tenemos que desarrollar el binomio de la forma(a − b)² = a² − 2ab + b² 









Por lo que podríamos escribir ambas expresiones en una sola de la siguiente manera:

Bueno a continuación la explicación de los dos binomios

Ésta última expresión se utiliza con mucha frecuencia para factorizar un polinomio. Noten que factorizar la expresión  es el proceso inverso a desarrollar la expresión 

El desarrollo de un un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.
a² + 2 a b + b² = (a + b)²

a² − 2 a b + b² = (a − b)²